DIE KEPLERSCHEN GESETZE
1. Kurzbiografie Johannes Kepler
2. Weltbilder im Wandel der Zeit - Historischer Hintergrund
3. Die Keplerschen Gesetze
1. Kurzbiografie Johannes Kepler
Der deutsche Astronom und Naturphilosoph Johannes Kepler wurde am 27. Dezember 1571 in Weil geboren und studierte Theologie an der Universität Tübingen.
Die damals verbreitete kopernikanische Lehre war Kepler bekannt und wurde von ihm akzeptiert.
Heliozentrisches Weltbild nach Kopernikus
Im Mittelpunkt der Welt steht die Sonne, die von Planeten (unter anderem der Erde) umkreist wird. Wie auch im geozentrischen Weltbild des Ptolemäus sind zusätzlich sogenannte Epizyklen notwendig (kleine Kreise, auf denen sich die Planeten bewegen - die Mittelpunkte der Epizyklen umlaufen die Erde auf den sogenannten "Deferenten"), um Unregelmäßigkeiten in der Bahngeschwindigkeit zu erklären.
Kepler, der nach seinem Theologiestudium nach Graz ging und dort von 1595 bis 1600 Professor für Mathematik und Astronomie war, arbeitete eine komplexe geometrische Hypothese aus, um so die Entfernungen zwischen den Plantenumlaufbahnen (im Weltbild von Kopernikus als "Deferenten" bezeichnet) erklären zu können - jedoch führte diese Hypothese zu keinem zufriedenstellenden Erfolg.
Im Zuge der Gegenreformation wurde Kepler mit seiner Familie aus Graz vertrieben und siedelte nach Prag über; dort wurde er Mitarbeiter des dänischen Astronomen Tycho Brahe und übernahm nach dessen Tod im Jahre 1601 die Anstellung als Hofastronom und kaiserlicher Mathematiker Rudolfs II.
Im Jahr 1612 ging Kepler als Mathematiker nach Österreich; 1628 trat er in die Dienste des deutschen Herzogs und Feldherren Wallenstein.
Kepler starb am 15. November 1630 in Regensburg.
2. Weltbilder im Wandel der Zeit - Historischer Hintergrund
Die frühen Weltbilder waren geozentrischer Natur - das bedeutet, es wurde angenommen, dass die Erde den Mittelpunkt der Welt darstellt. Alle weiteren Himmelskörper umkreisen die Erde auf konzentrisch angeordneten Sphären; die äußerste Sphäre wird dabei von den Fixsternen besetzt.
Erster Vertreter dieses Weltbildes war Aristoteles (384 - 322 vor Chr.). Ihm zufolge steht die Erde im Mittelpunkt des Universums und wird von sieben Planeten umkreist, die an kristallenen Sphären angeheftet sind. Aristoteles zählte Sonne und Mond zu diesen Planeten, ferner Merkur, Mars, Jupiter, Saturn und Venus. Von diesen nahm er an, dass sie aus einem nicht irdischen Stoff, der sogenannten "Quintessenz" (fünftes Element) bestünden.
Geozentrisches Weltbild nach Aristoteles:
alle Himmelskörper bewegen sich auf exakten, konzentrischen Kreisbahnen um die in Ruhe befindliche Erde.
Aristoteles hierzu: "Die Himmelkörper sind aus einem anderen Stoff als die irdischen Körper. Völlig getrennt von der irdischen Welt, gehorchen sie der Natur ihres Stoffes, indem sie die Erde umkreisen, während die Dinge auf Erden je nach der Natur ihrer Stoffe fallen oder steigen, weil sie Stein sind oder Feuer oder ein mittleres zwischen ihnen."
Der griechische Astronom und Mathematiker Ptolemäus stellte um 150 nach Chr. ein geozentrisches Weltbild auf, das die Planetenbewegungen zufriedendstellend beschrieb und bis ins Mittelalter bestand - obwohl bereits 250 vor Chr. von Arisarch von Samos ein heliozentrisches Weltbild postuliert worden war.
Geozentrisches Weltbild nach Ptolemäus:
alle Himmelskörper bewegen sich auf exakten, jedoch nicht konzentrischen Kreisbahnen um die in Ruhe befindliche Erde; es sind zusätzlich Epizyklen notwendig.
Dieses ptolemäische Weltbild sollte bis zur kopernikanischen Wende (durch Nicolaus Kopernikus und Galileo Galilei) nicht bezweifelt werden, da es der kirchlichen Lehre entsprach.
Im kopernikanischen Weltbild umkreisen die Planeten, zu denen auch die Erde zählt, die Sonne auf Kreisbahnen - es stellt also ein heliozentrisches Weltbild dar. Der einzige Himmelskörper, der die Erde umkreist, ist der Mond.
Dieses neue Modell hatte aber einen entscheidenden Nachteil: es vermochte die Planetenpositionen nicht so genau vorhersagen, wie dies mit Hilfe des ptolemäischen Weltbildes möglich ist.
Der dänische Astronom Tycho Brahe (1546 - 1601) stellte über 20 Jahre hinweg exakte Beobachtungen der Planetenbewegungen an und erstellte ein - hinsichtlich der Genauigkeit der Vorhersagen - verbessertes Modell: er kombinierte das kopernikanische Weltbild mit dem des Ptolemäus und erhielt so ein System, in dem sich die fünf damals bekannten Planeten (Merkur, Mars, Jupiter, Saturn und Venus) um die Sonne kreisen, die sich um die Erde dreht.
Modell der Planetenbewegungen nach Tycho Brahe
Johannes Kepler, zu dieser Zeit Tycho Brahes Assistent, wertete Bahndaten des Planeten Mars aus, und entschloss sich zu einem revolutionären Schritt:
Er war der erste, der eine elliptische Bahn für einen Himmelskörper annahm; bisher war man davon ausgegangen, dass die Bahnen aller Himmelskörper exakte Kreise darstellen müssten.
Diese Erkenntnisse übertrug er 1609 in seinem Werk "Neue Astronomie" auf alle Planeten, als er seine ersten beiden Gesetze beschrieb.
Modell der Planetenbewegungen nach Johannes Kepler
3. Die Keplerschen Gesetze
Erstes Keplersches Gesetz
Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
Definition "Ellipse": Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für welche die Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten (den sogenannten "Brennpunkten") konstant, und gleich der großen Achse der Ellipse ist. Die Brennpunkte F und F' liegen auf der großen Achse und sind achsensymmetrisch zur kleinen Achse.
Dieses Gesetz gilt allgemein auch für Monde, Kometen, Meteoride und andere Himmelskörper, die einen anderen Körper umkreisen.
Die allgemeine Formulierung des ersten Keplerschen Gesetzes lautet:
Ein Probekörper, der im Gravitationsfeld einer Zentralmasse eine Bewegung um diese ausführt, beschreibt eine Kegelschnittlinie (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel).
Diese Kegelschnitte unterscheiden sich durch ihre Exzentrizität, welche ein Maß für die Abweichung von der Kreisform darstellt. Die sogenannte "lineare Exzentrizität" errechnet sich als der Abstand eines Brennpunktes vom Mittelpunkt. Aus der linearen Exzentrizität lässt sich die numerische Exzentrizität berechnen, indem die lineare Exzentrizität durch die halbe große Achse dividiert wird.
Die numerische Exzentrizität e eines Kreises ist 0, einer Parabel 1, für eine Ellipse gilt e < 1 und für eine Hyperbel e > 1.
Welche Bahn der Himmelskörper beschreibt, hängt vom Verhältnis seinere potentiellen Energie zu seiner kinetischen Energie ab.
Heute wissen wir, dass die Ellipsen, die Planeten um die Sonne beschreiben, nicht geschlossen sind. Aufgrund relativistischer Effekte treten Abweichungen auf, es bildet sich eine sogenannte "Rosettenbahn". Besonders deutlich ist dies bei Merkur als "Periheldrehung" erkennbar.
Zweites Keplersches Gesetz
Flächensatz: Die Verbindungslinie (Leitstrahl, Radiusvektor) zwischen Planet und Sonne überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Zwischen den Positionen P1 und P2 oder P3 und P4 des Planeten liegen jeweils gleiche Zeitintervalle. Die Flächen P1-P2-S und P3-P4-S sind gleich.
Aus diesem Flächensatz folgt, dass die Bahngeschwindigkeit eines Planeten am sonnennächsten Punkt (Perihel) am größten und am sonnenfernsten Punkt (Aphel) am geringsten ist.
Drittes Keplersches Gesetz
Für zwei beliebige Planeten des Sonnensystems gilt:
Die Quadrate ihrer Umlaufzeiten verhalten sich wie die Kuben (dritte Potenzen) der großen Halbachsen ihrer Ellipsen.
T12 : T22 = a13 : a23
oder: T2/a3 = const.
Für die meisten Berechnungen kann die große Halbachse der Ellipse näherungsweise durch die mittlere Entfernung ersetzt werden.
Die Größe der Konstanten T2/a3 wird durch die Summe von Sonnenmasse M und Planetenmasse m bestimmt; es gilt:
Somit ist es durch das dritte Keplersche Gesetz möglich, aus der Beobachtung der Umlaufzeiten von Planeten die relativen Entfernungen im Sonnensystem, sowie die Massensumme zu ermitteln.
Aufgrund der Gravitationswirkung der großen Planeten (Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun) bestehen allerdings geringe Abweichungen vom dritten Keplerschen Gesetz.