Im zehnten Buch des Euklid (um 300 v. Chr.) findet sich der Beweis dafür, dass die Wurzel aus 2 nicht als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellbar ist.
Der Beweis wird über eine als reductio ad absurdum genannte Methode geführt.
Bei diesem Beweisverfahren geht man von der Richtigkeit einer Annahme aus, zieht die daraus logisch folgenden Schlüsse und leitet aus einem etwaigen Widerspruch die Falschhheit der ursprünglichen Aussage ab.
Die Seiten des Quadrats ABCD sind je eine Einheit lang (wobei diese "Einheit" ein Zentimeter, ein Meter, ein Lichtjahr, 100 Lichtjahre etc. sein kann).
Die Diagonale BC teilt dieses Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke (der rechte Winkel liegt bei A).
Für rechtwinklige Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras:
a2 + b2 = c2
Angewandt auf das Dreieck ABCD 12 + 12 = x2
x ist die Quadratwurzel aus 2, denn
12 + 12 = x2 1 + 1 = x2 2 = x2 = x
Und nun beginnt die Beweisführung:
Wir nehmen an, sei eine rationale Zahl, also durch einen Bruch der Art p/q darstellbar.
Die ganzen Zahlen p und q können dabei beliebig groß sein.
Zudem sollen p und q über keine gemeinsamen Faktoren verfügen; der Bruch p/q soll also gekürzt sein.
Beide Seiten der Gleichung
= p/q
werden nun quadriert, was zu 2 = p2/q2
führt.
Dies lässt sich durch Multiplikation beider Seiten mit q2 umformen zu
p2=2q2
Da p2 also eine (natürliche, also ganze) Zahl mal 2 ist, muss p2 gerade sein.
Da aber die Quadratzahlen ungerader Zahlen stets ungerade sind, muss auch p eine gerade Zahl sein.
Demzufolge lässt sich p schreiben als p = 2s
s ist hier eine natürliche Zahl.
Setzt man in die oben eingeführte Gleichung
p2 = 2q2
anstelle von p die Variable 2s ein, so ergibt sich
p2 = 2(2s)2 = 4s2 = 2q2
Indem man beide Seiten der Gleichung durch 2 dividiert, erhält man
q2 = 2s2
Daraus folgt, dass q2 ebenfalls eine ungerade Zahl sein muss, und damit auch q gerade ist.
Also sind p wie auch q gerade, also ohne Rest ganzzahlig durch 2 teilbar.
Dies bedeutet nun, dass p und q nicht auf ihren niedrigsten gemeinsamen Nenner reduziert wurden.
Damit wurde die Ausgangsannahme, p/q wäre ein ganzzahliger Bruch, eindetig widerlegt.
Bei p und q kann es sich um keine ganzen Zahlen handeln, also muss irrational sein.
Die Entdeckung, dass das Verhältnis von Diagonale und Seite des Quadrats nicht dem Verhältnis zweier ganzer Zahlen entspricht, macht es notwendig, das Zahlensytem um die irrationalen Zahlen (die Zahlen, die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen) zu erweitern.
= x