PI
- 3,14159265358979323846... -



1. Faszination
2. Berechnung von
2.1 Gründe für die Berechnung von
2.2 Berechnungsverfahren
2.3 Rekorde
3. Zehntausend Stellen von




1. Faszination

Die Kreiszahl , beginnend mit 3,1415... ist wohl jedem noch aus der Schule bekannt.

Der Umfang eines Kreises berechnet sich als

U = 2r

die Fläche als

A = r2

Doch ist viel mehr als eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen, die als Konstante bei der Kreisberechnung Verwendung findet.

Viele Jahrhunderte lang fand sie Eingang in Magie und Zauberei.

Aber auch in der Mathematik findet sich faszinierendes und verblüffendes.
ist eine transzendente Zahl.
Der Ausdruck "transzendent" bedeutet, dass sich nicht durch eine Polynomgleichunng wie



bzw. abgekürzt als



mit an=1 und mit dem natürlichen Exponenten nN sowe dem rationalen Koeffizienten ajQ darstellen lässt.



2. Berechnungen von

Die frühen Berechnungen von beruhen vor allem auf Kopfrechen-Arbeit, unterstützt durch mechanische Rechenmaschinen.
Bis elektromagnetisch arbeitende Rechenmaschinen (Computer) entwickelt wurden, wurde es immer schwieriger, noch genauere Ergebnisse zu erhalten.
Es ist relativ einfach, einen Computer auf die Berechnung von zu programmieren; die Grenzen sind dann nur noch durch die Rechenleistung des Computers sowie den Algorithmus gesetzt.
Als besonders geeignet hat sich John Marchins Arctan-Reihe erwiesen.


Bis in die 70er Jahre beruhten alle Berechnungen von auf Arctan-Reihen.

Eine erhebliche Verbesserung ergab sich nicht nur durch die Entwicklung immer schnellerer Rechenanlagen, sondern auch durch neue, effektivere Algorithmen.
Ein im Jahre 1976 von Eugene Salamin und Richard Brent entwickelter Algorithmus konvergiert quadratisch zu ; von Jonathan und Peter Borwein wurde 1991 sogar ein kubisch konvergierender Algorithmus entwickelt.

Die Effizienz dieser neuen Verfahren beruht auf Weiterentwicklungen auf dem Gebiet der Arithmetik. Multiplikationen erfordern normalerweise mehr Rechenaufwand als Additionen, doch entsprechend effektive Multiplikationsverfahren für sehr große Zahlen (zugeschnitten auf die Anwendung bei Rechenanlagen) in Kombination mit neuen Algorithmen für p erleichtern die Berechnung.



2.1 Gründe für die Berechnung von

Mit 37 Nachkommastellen ließe der Umfang eines Kreises bis auf Größenordnungen eines Atoms genau berechnen.

Die Ausdehung des Universums wird mit 10 bis 20 Mrd Lichtjahren angegeben.
Ein Lichtjahr sind (365 x 24 x 60 x 60 s) * (300.000 km/s) = 9,46 x 1012 km = 9,46 x 1015 m.
Nimmt man eine Ausdehnung des Alls von 15 Mrd. Lichtjahren an, so hat es einen Radius von 15 x 109 x 9,46 x 1015 m = 1,42 x 1023 m.
Der Umfang des entsprechenden Kreises ist damit 2 x 1,42 x 1023 m = 8,9 x 1023 m (rund 1024 m).

Der Radius eines Atoms hat die Größenordnung 0,1 nm = 10-10 m.
Das Verhältnis 1024 m/ 10-10 m ist 1037.
Demzufolge beträgt die Anzahl der erforderlichen Stellen 37.




Einen praktischen Grund für die Berechnung derart vieler Stellen von gibt es also nicht.

Doch existieren sehr wohl mathematische Gründe, die die Suche nach immer mehr Nachkommastellen vorantreiben.
Einer dieser Gründe hängt mit der Vermutung zusammen, dass die Zahl "normal" ist. "Normal" bedeutet hierbei, dass keine der Ziffern 0 bis 9 bevorzugt auftritt. Glei-ches gilt auch für Ziffernpaare, Zifferntripel etc.

Im Jahre 1996 entwickelte der Mathematiker David Bailey (Lawrence Berkeley Natio-nal Laboratory, Kalifornien) zusammen mit Mathematikern der Simon Fraser University (Vancouver, Kanada) eine Formel, die es erlaubt, jede beliebige Stelle von zu berechnen, ohne dass man zuvor die vorhergehenden Stellen kennen muss.

Die unter dem Kürzel BBP bekannte Formel lautet

Die Existenz einer derartigen Formel hatte man bis dahin nicht für möglich gehalten.

Mitte 2001 entdeckten Richard Crandall und David Bailey, dass sich mittels der BBP-Formel auch untersuchen lässt, ob normal ist.



2.2 Berechnungsverfahren

2.2.1 Formeln für

Archimedes (ca. 250 v. Chr.)

an und bn konvergieren zu (mit einem Fehler von O(4-n))


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Archimedes (ca. 250 v. Chr.)
Archimedes verwendete zur Berechnung von eine weitere Methode, die auf ein- und umbeschriebenen regemäßigen Vierecken beruht. Die in dieser Darstellung benutzten trigonometrischen Tangens- und Sinusfunktionen waren Archimedes noch nicht nicht bekannt.

Vermutlich berechnete Archimedes die Sinus- und Tangenswerte iterativ mittels derartiger Formeln:

Ausgangspunkt für die Berechnung von ist ein Sechseck, das einem Kreis einbeschrieben wird.


n stellt die Anzahl der Ecken dar
r stellt den Radius des Kreises dar

Der Winkel beträgt 30° (360°/12)

Die Länge einer Seite des einbeschriebenen Sechsecks (hier schwarz dargestellt) beträgt 2r sina.
Die Länge einer Seite des umbeschriebenen Sechsecks (grau dargestellt) beträgt 2r tan.

Für den Umfang eines Kreises U=2r gilt somit

2rn sin < U < 2rn tan

Durch Division durch 2r ergibt sich eine obere Schranke für den Wert von
2 sin < < 2 tan
In Zahlen ausgedrückt lautet das Ergebnis
3 < < 3,464


Durch eine Erhöhung des Werts n (also Erhöhung der Seitenzahlen des Polygons) lässt sich das Ergebnis genauer eingrenzen:

n wird verdoppelt, während durch /2 ersetzt wird.



Dies ergibt
3,106 < < 3,215

Für k Verdopplungsschritte lautet die Formel




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Nicolaus Cusanus (ca. 1450)
Die vom Gelehrten Cusanus entwickelte Methode stellt einen Schritt zur Entwicklung der heutigen Methoden zur Berechnung von dar.

Während Archimedes von einem Kreis mit festem Radius r ausgegangen ist und dessen Umfang durch Polygone mit immer mehr Seiten annäherte, wählte Cusanus den umgekehrten Weg: Er verwendete eine Folge regelmäßiger Polygone und wählte diese so, dass ihr Umfang immer die Länge 2 aufweist.
Diesen Polygonen werden Kreise ein- bzw. umbeschrieben.


2n bezeichnet die Anzahl der Ecken (und damit Seiten) eines regelmäßigen Polygons
Rn bezeichnet den Radius des umbeschriebenen Kreises
rn bezeichnet den Radius des einbeschriebenen Kreises


Das erste Polygon für n = 2 stellt ein Quadrat dar (22=4). Der Umfang des Quadrates ist 2 (da bei dieser Berechnungsmethode der Umfang der Polygone immer 2 sein muss).
Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras lassen sich Rn und rn berechnen.



Desweiteren exisiteren folgende Gesetzmäßigkeiten:


Es stellt sich heraus, dass rn < Rn für alle n gilt.
rn nimmt dabei mit wachsendem n zu, während Rn mit wachsendem n abnimmt.
Somit verfügen beide Folgen über Grenzwerte - und zwar müssen diese Grenzwerte gleich sein.
Daraus folgt durch die oben eingeführte Gleichung


dass der Grenzwert gleich


sein muss.

Folgende Tabelle gibt die ersten 10 Schritte für die iterative Berechnung von nach diesem Verfahren an.
pn bezeichnet hierbei die jeweilige Näherung, berechnet durch pn = 2/(Rn + rn).
Jeder Iterationsschritt verringert die Abweichung von pn zu um ca. einen Faktor von 4.


n rn Rn pn Abweichung
2 0,250000 0,353553 3,313708 0,172116
3 0,301777 0,326641 3,182598 0,041005
4 0,314209 0,320364 3,151725 0,010132
5 0,317287 0,318822 3,144118 0,002526
6 0,318054 0,318438 3,142224 0,000631
7 0,318246 0,318342 3,141750 0,000158
8 0,318294 0,318318 3,141632 0,000039
9 0,318306 0,318312 3,141603 0,000010
10 0,318309 0,318310 3,141595 0,000002
11 0,318310 0,318310 3,141593 0,000001



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Francois Viète (ca. 1579)



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John Wallis (ca. 1650)



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William Brouncker (ca. 1650)



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Madhava, James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibniz (1450 - 1671)



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Isaac Newton (ca. 1666)



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John Marchin (1706 - 1776)
Die nach Entdeckung der Differentialrechnung entwickelten Formeln stellen sehr effektive Möglichkeiten der Berechnung von dar.
Eines dieser auf Reihenentwicklungen von Arcus-Sinus und Arcus-Tangens beruhenden Verfahren ist hier dargestellt.


Der Mathematiker Gregory hatte 1671 entdeckt, dass die Fläche unter der Kurve

von 0 bis x den Wert arctan x annimmt.
Eine direkte Folgerung daraus ist die Arctan-Reihe


Für x = 1 ergibt sich dadurch die Formel


Ein Problem dieser Formel ist allerdings, dass sie nur sehr langsam zu konvergiert, was eine große Anzahl von Rechenschritten notwendig macht.

Die Konvergenz der Reihe lässt sich allerdings durch einen mathematischen Trick erheblich beschleunigen:


Sei

sodass

Durch Anwendung des trigonometrischen Additionstheorems

ergibt sich

und



Also ist



woraus folgt, dass



Der Tangens der Differenz zwischen diesen beiden Winkeln kann wiederum berechnet werden durch


Daraus folgt



Aufgelöst nach /4 erhält man somit das Ergebnis



Im Gegensatz zur Gregorys ursprünglicher Formel müssen hier zwei Reihen berechnet werden. Die zweite Reihe konvergiert erheblich schneller.

Ausgehend davon, wurden diverse Arctan-Formeln für die Berechnung von entwickelt:





Arctan-Formel von Carl Friedrich Gauß:





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Leonard Euler (ca. 1748)



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Srinivasa Ramanujan (1914)

jeder zusätzliche Term liefert ca. 8 weitere Ziffern von


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Louis Comtet (1974)



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Eugene Salamin, Richard Brent (1976)


pk konvergiert quadratisch zu


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Jonathan und Peter Borwein (1991)


folgende Berechnungen werden iterativ durchgeführt:



1/ak konvergiert kubisch zu


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Jonathan und Peter Borwein (1995)


folgende Berechnungen werden iterativ durchgeführt:



1/ak konvergiert quadratisch zu


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Gregory und David Chudnovsky (1989)


jeder zusätzliche Term liefert ca. 15 weitere Ziffern von


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Jonathan und Peter Borwein (1989)


jeder zusätzliche Term liefert ca. 31 weitere Ziffern von


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David Bailey, Peter Borwein und Simon Plouffe (1996)







2.2.2 Näherungen für




Roy North (1989)
Beschränkt auf 500.000 Terme, ergibt die von Gregory entwickelte Formel

das vierzigstellige Ergebnis

3,141590653589793240462643383269502884197

(die unterstrichenen Ziffern sind falsch)

Die Formel würde zur Berechnung von 100 Ziffern von mehr Terme benötigen, als das Universum Partikel enthält.



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Folgende Formel von 1985 liefert über 42 Billionen Stellen hinweg ein richtiges Ergebnis:






2.3 Rekorde

Wer?

Jahr

berechnete Stellen (falls keine zusätzliche Angabe, korrekt berechnete Stellen)

berechneter Wert

verwendete Rechenanlage
Babylonier 2000? v. Chr. 1 3.125 = 3 + 1/8
Ägypter 2000? v. Chr. 1 3.16045
China 1200? BCE 1 3
Bibel 550? v. Chr. 1 3
Archimedes 250? BCE 3 3.1418
Hon Han Shu 130 n. Chr. 1 3.1622 = Wurzel(10)
Ptolemäus 150 n. Chr. 3 3.14166
Chung Hing ca. 250 1 3.16227 = sqrt(10)
Wang Fau ca. 250 1 3.15555 = 142/45
Liu Hui 263 5 3.14159
Siddhanta 380 3 3.1416
Tsu Ch'ung Chi ca. 480 7 3.1415926
Aryabhata 499 4 3.14156
Brahmagupta ca. 640 1 3.162277 = sqrt(10)
Al-Khowarizmi 800 4 3.1416
Fibonacci 1220 3 3.141818
Al-Kashi 1429 14
Otho 1573 6 3.1415929
Viete 1593 9
Romanus 1593 15
Van Ceulen 1596 20
Van Ceulen 1615 35
Newton 1665 16
Sharp 1699 71
Seki ca. 1700 10
Machin 1706 100
De Lagny 1719 127 (112 korrekt)
Takebe 1723 41
Kamata 1730 25
Matsunaga 1739 50
Vega 1794 140
Rutherford 1824 208 (152 korrekt)
Strassnitzky und Dase 1844 200
Clausen 1847 248
Lehmann 1853 261
Rutherford 1853 440
Shanks 1874 707 (527 korrekt)
Ferguson 1946 620
Ferguson Jan. 1947 710
Ferguson und Wrench Sep. 1947 808
Smith und Wrench 1949 1.120
Reitwiesner 1949 2.037 ENIAC
Nicholson und Jeenel 1954 3.092 NORC
Felton 1957 7.480 Pegasus
Genuys Jan. 1958 10.000 IBM 704
Felton Mai 1958 10.021 Pegasus
Guilloud 1959 16.167 IBM 704
Shanks und Wrench 1961 100.265 IBM 7090
Guilloud und Filliatre 1966 250.000 IBM 7030
Guilloud und Dichampt 1967 500.000 CDC 6600
Guilloud und Bouyer 1973 1.001.250 CDC 7600
Miyoshi und Kanada 1981 2.000.036 FACOM M-200
Guilloud 1982 2.000.050 (?)
Tamura 1982 2.097.144 MELCOM 900II
Tamura und Kanada 1982 4.194.288 HITAC M-280H
Tamura und Kanada 1982 8.388.576 HITAC M-280H
Kanada, Yoshino, Tamura 1982 16.777.206 HITAC M-280H
Ushiro und Kanada Okt. 1983 10.013.395 HITAC S-810/20
Gosper 1985 17.526.200 Symbolics 3670
Bailey Jan. 1986 29.360.111 CRAY-2
Kanada und Tamura Sep. 1986 33.554.414 HITAC S-810/20
Kanada und Tamura Okt. 1986 67.108.839 HITAC S-810/20
Kanada, Tamura, Kubo Jan. 1987 134.217.700 NEC SX-2
Kanada und Tamura Jan. 1988 201.326.551 HITAC S-820/80
G.V. Chudnovsky und D.V. Chudnovsky Mai 1989 480.000.000 CRAY-2 u. IBM-3090/VF
G.V. Chudnovsky und D.V. Chudnovsky Jun. 1989 525.229.270 IBM 3090
Kanada und Tamura Jul. 1989 536.870.898 HITAC S-820/80
G.V. Chudnovsky und D.V. Chudnovsky Aug. 1989 1.011.196.691 IBM 3090
Kanada und Tamura Nov. 1989 1.073.741.799 HITAC S-820/80
G.V. Chudnovsky und D.V. Chudnovsky Aug. 1991 2.260.000.000 Parallelrechner, bestehend aus Home-PCs
G.V. Chudnovsky und D.V. Chudnovsky Mai 1994 4.044.000.000 Parallelrechner, bestehend aus Home-PCs
Takahashi und Kanada Jun. 1995 3.221.225.466 HITAC S-3800/480 (verwendet 2 CPUs)
Takahashi und Kanada Aug. 1995 4.294.967.286 HITAC S-3800/480 (verwendet 2 CPUs)
Takahashi und Kanada Okt. 1995 6.442.450.938 HITAC S-3800/480 (verwendet 2 CPUs)
G.V. und D.V. Chudnovsky März 1996 mehr als 8.000.000.000 (?)
Takahashi und Kanada Jun. 1997 ca. 51.000.000.000 Stellen (3 x 234) HITACHI SR2201 Computer Centre, U. of Tokyo, 1024 Prozessoren
Takahashi und Kanada April 1999 68.719.470.000 Stellen HITACHI SR8000 Computer Centre, U. of Tokyo, 64 von 128 verfügbaren Prozessoren
Takahashi und Kanada Sept. 1999 206.158.430.000 Stellen HITACHI SR8000 Computer Centre, U. of Tokyo, alle der 128 verfügbaren Prozessoren
Kanada und 9-köpfiges Team Sept. 2002 1, 241 Billionen Stellen HITACHI supercompute, Information Technology Center, U. of Tokyo




3. Zehntausend Stellen von


3,
141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208
998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117
450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786
783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606
315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951
941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567
351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702
179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785
771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542
019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951
059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003
137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353
787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065
485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283
479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255
060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837
449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162
056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782
354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690
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945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287
467764657573962413890865832645995813390478027590099465764078951269468398352595
709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252
451749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930
161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644
695848653836736222626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700
129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267467
678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324
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