1.2 Venn-Diagramme
Venn-Diagramme bieten eine einfache Möglichkeit, Zusammenhänge von Mengen darzustellen.
Für jede Menge enthält das Venn-Diagramm eine geschlossene Form (meist eine Ellipse oder ein Kreis). Mengen, die gemeinsame Elemente enthalten, überschneiden sich.
1.3 Beschreibung und Darstellung von Mengen
Ist M eine Menge und m ein Element dieser, so stellt man dies dar durch
ist x kein Element von M, so
Mengen können durch die vollständige Aufzählung ihrer Elemente beschrieben werden.
Beispiele für Mengen:
M={rot;grün;blau}
enthält die Elemente "rot", "grün" und "blau".
M={1;2;3;4}
enthält als Elemente die natürlichen Zahlen von 1 bis 4.
Die Mengen werden also durch Auflistung, getrennt mit Semikolon (oder alternativ mit Komma, falls eine Verwechselung mit dem Komma als Dezimaltrennzeichen ausgeschlossen ist) dargestellt.
Für Mengen mit wenigen Elementen ist diese Beschreibung durch Aufzählung sinnvoll.
Mengen mit vielen Elementen können so allerdings nicht mehr sinnvoll beschrieben werden.
Hierfür existieren weitere Möglichkeiten der Beschreibung, und zwar über Eigenschaften:
beispielsweise bedeutet
"M ist die Menge aller Elemente x, für die gilt x ist kleiner als 3".
Hier kann eine genauere Charakterisierung nötig sein - denn aus obigem Beispiel geht nicht hervor, ob x nur Werte aus dem Bereich der natürlichen Zahlen (in diesem Fall 1 und 2; je nach Definition auch 0) annehmen kann, oder ob auch Brüche wie 1/3, 3/4 oder 11/198 erlaubt sind. Auch negative Zahlen könnten möglich sein.
Eine genauerere Charakterisierung von
kann so beispielsweise heißen
N bezeichnet hier die Menge der natürlichen Zahlen (siehe Zahlenmengen)
Außer der Schreibweise mit geschweiften Klammern existiert noch eine weitere, die sogenannte "Intervallschreibweise".
Sie stellt eine verkürzte Schreibweise für "...für die gilt" dar.
Abgeschlossenes Intervall
M = [x1; ... x2] ist gleichbedeutend mit M={x|x1< x < x2}
Hier handelt es sich um ein abgeschlossenes Intervall, was bedeutet, dass sowohl das abgrenzende Element x1 als auch das abgrenzende Element x2 mit zur Menge M gehören.
Rechtsoffenes Intervall
M = [x1; ... x2[ ist gleichbedeutend mit M = {x|x1< x < x2}
Das begrenzende Element x2 gehört somit gerade nicht mehr zur Menge M.
Linksoffenes Intervall
M = ]x1; ... x2] ist gleichbedeutend mit M = {x|x1< x < x2}
Das begrenzende Element x1 gehört somit gerade noch nicht zur Menge M.
Offenes Intervall
M = ]x1; ... x2[ ist gleichbedeutend mit M = {x|x1< x < x2}
Die beiden begrenzenden Elemente x1 und x2 gehören nicht mit zur Menge M.
Leere Menge
Die leere Menge wird als { } dargestellt, manchmal auch als
1.4 Verknüpfung von Mengen
Die Mengenlehre behandelt Mengen nicht getrennt voneinander - besonders die Be-ziehungen von Mengen untereinander spielen hier eine wichtige Rolle.
Teilmenge
Eine Menge M1 heißt Teilmenge von M, wenn jedes Element von M1 ein Element von M ist.
Geschrieben wird dies als
Beispielsweise stellt M = {1;2;3} eine Teilmenge von N dar.
M1 wird "echte Teilmenge" von M genannt, wenn gilt
aber M1 nicht gleich M ist.
Dargestellt wird die echte Teilmenge durch
Durchschnittsmenge
Der Durchschnitt zweier Mengen M1 und M2 ist definiert als die Menge derjenigen Elemente, die sowohl in M1 als auch in M2 enthalten sind.
Geschrieben wird dies als
(Das Zeichen
stellt das logische UND dar.)
Vereinigungsmenge
Die Vereinigung der Mengen M1 und M2 ist definiert als die Menge aller Elemente von M1 und aller Elemente von M2.
Geschrieben wird dies als
(Das Zeichen
stellt das logische ODER dar.)
Differenzmenge
Die Differenz zweier Mengen M1 und M2 ist definiert als die Menge aller Elemente, die in M1, nicht aber in M2 enthalten sind.
Geschrieben wird dies als
Komplement
Ist M1 eine Teilmenge von M, und wird die Differenz M1 / M2 als M3 gebildet, so bezeichnet man diese Menge M3 auch als das Komplement von M2 in M1.
Kartesisches Produkt (Produktmenge)
Das kartesische Produkt M1 x M2 ist die Menge aller geordneten Paare (m1|m2) mit
und 
.
Beispiel:
Hierbei ist die Reihenfolge entscheidend.
(1|a) ist somit kein Element von M1 x M2, während (a|1) sehr wohl ein Element von M1 x M2 ist.
Potenzmenge
Eine Potenzmenge P(M) enthält alle möglichen Teilmengen von M, sowie die leere Menge.
Beispiele:
ist nicht das gleiche wie 
denn:
enthält keine Elemente, während eine Menge ist, die als einziges Element enthält.
Besitzt die Ausgangsmenge M n viele Elemente, so verfügt die Potenzmenge P(M) über 2n verschiedene Elemente.
Disjunkte Mengen
Ist der Durchschnitt zweier Mengen M1 und M2 leer, so heißen diese Mengen disjunkt.
Gleichheit
Zwei Mengen M1 und M2 heißen dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Mehrfach vorkommende Elemente werden hierbei nur einmal gezählt.
2. Unendlichkeit
2.1 Mächtigkeit
Die Mächtigkeit gibt an, wie viele Elemente eine Menge enthält.
Ist beispielsweise M eine Menge mit drei Elementen, so ist
|M| = 3
Ist die Mächtigkeit einer Menge eine natürliche Zahl, so wird diese Menge "endlich" genannt.
Hat eine Menge unendlich viele Elemente, so ist die Mächtigkeit
Beispiele für Mengen mit
sind die natürlichen und ganzen Zahlen.Dass sowohl die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen (also der positiven ganzen Zah-len) als auch die der ganzen Zahlen (die die positiven ganzen Zahlen wie auch die negativen ganzen Zahlen einschließen), unendlich ist, lässt sich auf einfache Art und Weise zeigen:
Jeder natürlichen Zahl ist also eine ganze Zahl zugeordnet.
Wie sieht es nun mit Q, der Menge der rationalen Zahlen (also der Brüche) aus?
Auch diese Zahlen lassen sich zählen:
Somit sind N, Z und Q abzählbar unendlich.
Diese Art von Unendlichkeit bezeichnet man mit
(Aleph Null; Aleph ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets).
Es existiert noch eine weitere "Hierarchie-Ebene" der Unendlichkeit.
Die Menge der reellen Zahlen schließt die irrationalen Zahlen (wie
und 
, siehe siehe Pi und Wurzel aus 2) ein.Die reellen Zahlen stellen ein Beispiel für eine überabzählbar unendliche Menge dar.
Beweis:
Wir beschränken uns hier auf das Intervall [0;1].
Angenommen, die reellen Zahlen dieses Intervalls wären abzählbar unendlich, dann müsste folgende Darstellung alle Zahlen dieses Intervalls auflisten können:
Die Variable a steht hier für 0 oder 1 (die Darstellung erfolgt, der Einfachheit halber, im Binärsystem).
Es lässt sich nun eine Zahl 0, b1b
b1 wird so gewählt, dass er Wert ungleich a11 ist; b2 so, das der Wert ungleich a22 ist... bn so, dass der Wert ungleich ann ist.
Eine derartige Zahl stimmt mit A1 in der 1. Nachkommastelle nicht überein, mit A2 nicht in der 2. Nachkommastelle, mit A3 nicht in der 3. Nachkommastelle... mit An nicht in der n-ten Nachkommastelle.
Da die (falsche) Annahme, dass reele Zahlen abzählbar wären, zu einem Widerspruch geführt hat, muss die Menge der reellen Zahlen überabzählbar sein.
Überabzählbare Unendlichkeit wird mit dem Symbol
bezeichnet.
lässt sich allgemein als die Ordnung der Mengen aller Untermengen einer Menge mit der Mächtigkeit definieren.Außer der Menge der reellen Zahlen sind die Menge der Punkte einer Geraden, einer Ebene etc., allgemein die Anzahl der Elemente eines beliebigen Kontinuums Beispiele für Mengen der Mächtigkeit
.Analog zur Definition von lassen sich auch über-überabzählbare Mengen mit der Mächtigkeit
definieren.
ist die Mächtigkeit der Menge aller Untermengen einer Menge der Mächtigkeit 
Mächtigkeit des Komplements
Sei M1 eine endliche Menge und Sei M2 eine Teilmenge von Sei M1.
Dann gilt für ihr Komplement
|M1/M2| = |M1| - |M2|
Mächtigkeit der Vereinigungsmenge
Seien M1 und M2 endliche Mengen.
Dann gilt für ihre Vereinigungsmenge
Mächtigkeit der Produktmenge
Seien M1 und M2
Dann gilt für ihre Produktmenge
Mächtigkeit der Potenzmenge
Besitzt eine enge die Mächtigkeit
so besitzt ihre Potenzmenge die Mächtigkeit
2.2 Die Menge aller Mengen
Wie gezeigt, können die Elemente einer Menge wiederum Mengen sein.
Wie siet es nun mit der Konstruktion einer "Menge aller Mengen" aus?
Um über die Richtigkeit der Annahme, die "Menge aller Mengen" sei eine sinnvolle Konstruktion, zu entscheiden, verwenden wir eine als reductio ad absurdum bezeichnete Beweis-Methode.
Bei diesem Beweisverfahren geht man von der Richtigkeit einer Annahme aus, zieht die daraus folgenden logischen Schlüsse und leitet aus einem etwaigen Widerspruch die Falschheit der ursprünglichen Annahme ab.
Nehmen wir also an, die "Menge aller Mengen" sei ein sinnvolles Konstrukt, und bezeichnen wir diese Menge mit M.
M ={ A| A ist eine Menge}
Ist M also, wie vorausgesetzt, eine Menge, so enthält sie sich selbst als Element.
Die meisten Mengen allerdings enthalten sich nicht selbst als Element.
B={1;2;3} wäre eine derartige Menge.
Definieren wir nun also S als die Menge derjenigen Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten.
Nun ist also S auch eine Teilmenge von M (da M ja alle Mengen enthält).
Enthält sich nun S selbst als Element?
Angenommen,
, dann enthält sich S als Element, woraus folgt, dass S nicht in S enthalten ist - da S ja oben definiert wurde als eine Menge, die nur diejenigen Mengen enthält, die sich nicht selbst als Element enthalten.Dies ist ein klarer Widerspruch.
Nun nehmen wir an,
Dann enthält sich S nicht selbst als Element, weshalb S in S enthalten sein muss (da ja S alle Mengen umfasst, die sich nicht selbst als Element enthalten).
Auch hier ergibt sich ganz klar ein Widerspruch - woraus folgt, dass die Annahme falsch ist.
ist falschund
ist ebenfalls falsch.Fazit: Das Konzept "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten" ist wider-sprüchlich - genauso wie das Konzept "Menge aller Mengen".
Ein anschauliches Beispiel hierfür stellt das "Barbier-Paradoxon" dar.
Ein Dorfbarbier hat ein Schild aufgestellt mit der Aufschrift "Ich rasiere alle Männer, die sich nicht selbst rasieren".
Rasiert sich der Barbier nun selbst?
Angenommen, er rasiert sich selbst, dann rasiert er sich nicht (denn er rasiert ja nur diejenigen Männer, die sich nicht selbst rasieren).
Angenommen, er rasiert sich also nicht selbst, dann rasiert er sich (denn er rasiert ja alle, die sich nicht selbst rasieren).