KOMPLEXE ZAHLEN
- Eine Einführung -



1. Die Wurzel aus -1
2. Die Ebene der Komplexen Zahlen
3. Reelle und komplexe Zahlen
4. Rechnen mit komplexen Zahlen
4.1 Addition
4.2 Subtraktion
4.3 Multiplikation
4.4 Komplexe Konjugation
4.5 Division
4.6 Wurzeln
5. Stereografische Projektion

1. Die Wurzel aus -1

Eine Gleichung der Form

hat im Bereich der reellen Zahlen (die Zahlen, mit denen man gewöhnlich rechnet; sie umfassen die positiven und negativen Zahlen sowie deren Brüche) keine Lösung.

Daher wurde das Symbol i eingeführt. i, bezeichnet als "imaginäre Einheit", steht für eine Zahl, die die Eigenschaft besitzt, oben genannte Gleichung zu lösen. i2 ist also -1 (bzw. ).

Die imaginäre Einheit i stellt eine Komponente der sogenannten komplexen Zahlen dar. Eine komplexe Zahl besitzt zwei Komponenten, die als Realteil und Imaginärteil bezeichnet werden.





2. Die Ebene der Komplexen Zahlen

Reelle Zahlen lassen sich als Punkte auf einer Zahlengeraden darstellen.
Da komplexe Zahlen allerdings im Gegensatz zu reellen Zahlen über zwei Komponenten verfügen, bietet sich hier die Darstellung in einer Ebene an. Punkte in einer Ebene verfügen schließlich über zwei Komponenten (x- und y-Koordinate) - genauso wie komplexe Zahlen.


Die Koordinaten einer komplexen Zahl in der Ebene entsprechen deren Real- und Imaginärteil.


Die Länge des Vektors vom Ursprung O zum Punkt z ist - nach dem Satz des Pythagoras - gegeben durch



r = |z| wird dabei als Absolutbetrag oder Radius von z bezeichnet. Der Winkel , den der Vektor (gegen den Uhrzeigersinn) mit der positiven reellen Achse einschließt, ist das sogenannte Argument = arg z

Komplexe Zahlen lassen sich daher auf zwei verschiedene Arten angeben.
Entweder verwendet man, wie gezeigt, ihre kartesischen Koordinaten x = real(z) und y= imag(z), oder man verwendet den Radius r = |z| und das Argument = arg z.
Diese beiden Werte, Radius und Argument, werden als Polarkoordinaten bezeichnet.

Unter Zuhilfenahme der trigonometrischen Funktionen erhält man

Polarkoordinaten lassen sich daher einfach in kartesische Koordinaten umwandeln.




Die Umwandlung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gestaltet sich etwas schwieriger.
Der Radius lässt sich durch den Satz des Pythagoras bestimmen:




Zur Bestimmung des Arguments verwendet man folgenden Algorithmus:





3. Reelle und komplexen Zahlen

Reelle Zahlen können als Spezialfall der komplexen Zahlen aufgefasst werden - nämlich als diejenigen komplexen Zahlen, deren Imaginärteil Null ist.

Es existiert jedoch ein wichtiger Unterschied. Für zwei nicht identische reelle Zahlen x und y gilt entweder x > y oder x < y.
Für komplexe Zahlen existiert eine derartige Ordnung nicht.




4. Rechnen mit komplexen Zahlen
4.1 Addition



Die Addition zweier komplexer Zahlen entspricht geometrisch der Addition jener beiden Vektoren, die von Koordinatenursprung zu den Zahlen zeigen.





4.2 Subtraktion

Die Subtraktion entspricht der Addition, nur mit negativem Vorzeichen.



4.3 Multiplikation



Das Ergebnis der Multiplikation zweier komplexer Zahlen ergibt sich aus dem Punkt, dessen Argument die Summe der Argumente beider Faktoren ist und dessen Abso-lutbetrag durch das Produkt der Absolutbeträge der beiden Faktoren gegeben ist.



4.4 Komplexe Konjugation



Geometrisch entspricht die komplexe Konjugation einer Spiegelung an der x-Achse.
Die komplexe Konjugierte von

ist


Für eine komplexe Zahl und deren Konjugierte gilt



Division

Geometrisch entspricht die Division durch eine komplexe Zahl mit r > 0 und Argument einer Skalierung um den Faktor 1/r und einer Drehung um den Winkel .

Ausgedrückt in Polarkoordinaten:



Die Gleichung für die Division, ausgedrückt in kartesischen Koordinaten, verwendet die komplexe Konjugation.

Für gilt:



4.6 Wurzeln

Die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl



ergibt sich wie folgt:
Für gibt es immer zwei Wurzeln, nämlich und






5. Stereografische Projektion

Die Ebene der komplexen Zahlen lässt sich auch als sogenannte Riemannsche Sphäre
Jedem Punkt der komplexen Zahlenebene entspricht ein Punkt auf der Sphäre; genauso entspricht jedem Punkt der Sphäre (mit Ausnahme des Nordpols) genau ein Punkt der Zahlenebene.
Der Nordpunkt wird als "unendlich ferner Punkt" bezeichnet, denn je weiter ein Punkt der Ebene vom Koordinatenursprung entfernt ist, desto näher befindet sich der ent-sprechende Punkt der Sphäre am Nordpol.

Die stereografische Projektion stellt ein Verfahren dar, um einen Punkt der Ebene in einen Punkt der Sphäre umzuwandeln.



Der Radius r der Sphäre ist 1, der Südpol befindet sich im Koordinatenursprung der Fläche. Für jeden Punkt (x,y,z) der Sphäre (mit Ausnahme des Nordpols) lässt sich der zugehörige Projektionspunkt u + vi ermitteln, indem man eine Gerade betrachtet, welche durch den Nordpol der Sphäre und den Punkt (x,y,z) verläuft.
Der Projektionspunkt u+vi befindet sich nun genau an der Stelle der Ebene, an der die Gerade die Ebene durchsticht.


Die Transformation von Koordinaten auf der Sphäre in Koordinaten der Ebene ist gegeben durch



Daraus folgt, dass



Die Umkehrabbildung, mit der sich zu einem gegebenen Punkt der Ebene der ent-sprechende Punkt auf der Sphäre ermitteln lässt, lautet