GITTERWÜRFEL
Wie lässt sich das Volumen dieses Körpers berechnen?
Eine Möglichkeit wäre, ihn in mehrere Quader zu zerlegen, deren Volumina zu berechnen und schließlich die einzelnen Volumina aufzuaddieren.
Eine Möglichkeit, die nicht sonderlich elegant ist, und bei der einem leicht Fehler unterlaufen können.
Doch es geht einfacher und eleganter.
Betrachen wir einmal folgenden Körper:
Dieser Körper hat eine gewisse Ähnlichkeit mit unserem Gitterwürfel.
Hier ist nur ein "Durchbruch" vorhanden, während der Gitterwürfel über drei "Durchbrüche" verfügt.
Bei Abbildung 2 wird deutlicher, dass sich das Volumen nicht nur mittels der "Zerlegungsmethode" berechnen lässt, sondern auch, indem man das Volumen des Durchbruchs vom Volumen des kompakten Würfels subtrahiert.
Als Formel ausgedrückt:
Ähnlich lässt sich das Volumen des Gitterwürfels berechnen.
Auf den ersten Blick könnte man meinen, die Formel sei
,
da der Gitterwürfel über drei "Durchbrüche" verfügt.
Achtung!
Wir haben den kleinen Würfel in der Mitte des "Kreuzes" zweimal zu oft zum "Durchbruch" hinzugezählt (bzw. vom kompakten Würfel abgezogen)!
Wir wissen, dass sein Volumen b3 ist.
Die korrekte Formel lautet daher
