FAKULTÄT EINER ZAHL
Dieser Artikel war ursprünglich dazu gedacht, kurz und knapp die Bedeutung des hin und wieder in mathematischen Formeln auftauchenden Ausrufezeichens zu erklären.
Hier, als Kurzüberblick, der ursprüngliche Mini-Artikel:
Das Symbol ! bedeutet in der Mathematik "Fakultät".
Allgemein ist die Fakultät einer Zahl n
n! = 1 x .... x (n-1) x (n)
Die Fakultät von 3 beispielsweise ist
3! = 1 x 2 x 3
Nach Definition ist
0!=1
1!=1
Für den an weiteren Zusammenhängen interessierten Leser nun eine umfassendere Ausführung zum Thema "Fakultät":
1. Fakultät und Permutationen
2. Approximation der Fakultät
3. Verallgemeinerter Fakultätsbegriff - die Gammafunktion
4. Die Doppel-Fakultät
1. Fakultät und Permutationen
Die Fakultät spielt eine wichtige Rolle bei Permutationen - also bei der Beantwortung der Frage, auf wie viele unterschiedliche Arten sich n Elemente anordnen lassen.
Hier ein Beispiel von Permutationen von n Elementen:
n = 0: {}
n = 1: {a}
n = 2: {a, b} {b, a}
n = 3: {a, b, c} {a, c, b} {b, a, c} {b, c, a} {c, a, b} {c, b, a}
Wie man leicht erkennen kann, erhält man die Anzahl der Permutationen von n, indem man die Anzahl der Permutationen von n-1 mit n multipliziert. Für n = 0 ist die Anzahl der Permutationen gleich 1, genauso wie für n = 1.
Diese Anzahl der Anordnungen (Permutationen) von n wird als "Fakultät von n" bezeichnet und als n! geschrieben.
Die Fakultät ist rekursiv definiert, wie man an der oben genanten "Bildungs-Vorschrift" der Fakultät erkennt:
"multipliziere die Anzahl der Permutationen von n-1 mit n", geschrieben als Formel:
Die Fakultät lässt sich auch iterativ darstellen, sofern man die Null ausschließt:
Um noch einmal zu den Permutationen zurückzukehren:
Die Anzahl von Anordnungen von n Elementen, n!, stellt den einfachsten Fall dar.
Die Zahl der verschiedenen möglichen Reihenfolgen, s Elemente aus einer Menge von n Elementen zu ziehen, ist:
Die Zahl untergeordneter Teilmengen mit s Elementen aus einer Menge von n Elementen ist:
Die Sub-Fakultät gibt die Anzahl von Permutationen an, bei denen keines der Elemente an seinem Platz bleibt.
Ein Beispiel zur Veranschaulichung:
n = 1: {a} 
n = 2: {a, b}
{b, a}
n = 3: {a, b, c}
{b, c, a} {c, a, b}
Die Sub-Fakultät von n wird mit !n bezeichnet und durch folgende Formel ermittelt:
2. Approximation der Fakultät
Die Größe der Fakultäten wächst sehr rasch an, wie folgendes Diagramm zeigt:
Eine solch rasche Zunahme der Größe bedeutet natürlich auch, dass die Berechnungen für sehr große Werte immer aufwändiger, d.h. rechenintensiver werden.
Kommt es nicht so sehr auf einen genauen Wert an, kann man sich sehr gut mit Approximationen behelfen, da diese weitaus schneller durchgeführt werden können.
Die bekannteste Approximation der Fakultät ist die sogenannte "Stirlingsche Formel":
3. Verallgemeinerter Fakultätsbegriff - die Gammafunktion
Solange man bei Permutationen bleibt, hat man es mit natürlichen Zahlen zu tun.
Kann der Fakultätsbegriff aber auch auf andere Zahlenmengen ausgeweitet werden?
Ja, mit einem verallgemeinerten Funktionsbegriff ist dies möglich. Mithilfe der sogenannten "(Gaußschen) Gammafunktion" 
lässt sich der Fakultätsabbildung auf fast ganz R und C fortsetzen.
Zu beachten ist, dass die Gammafunktion - aus historischen Gründen - so definiert ist, dass sie an der Stelle n (n ELEMENT N) en Wert (n-1)! und nicht n! annimmt.
Die Gaußsche Gammafunktion lautet:
Sie lässt sich auch schreiben als
Die Gammafunktion liefert die für die natürlichen Zahlen bekannten Funktionswerte und ist darüber hinaus für R und C definiert.
Eine Ausnahme stellen die negativen ganzen Zahlen an; dort weist die Gammafunktion negative Pole auf.
Die folgende Abbildung zeigt den Graph der Gammafunktion für reelle Zahlen.
4. Die Doppel-Fakultät
Die Doppelfakultät unterscheidet sich von der gewöhnlichen Fakultät dahingehend, dass bei der Doppelfakultät nur das Produkt jeder zweiten (natürlichen) Zahl gebil-det wird.
Rekursiv definiert ist die Doppelfakultät folgendermaßen:
