CURIOSITY-KABINETT

In dieser Rubrik ist alles Spannende und Verblüffende aus der Welt der Mathematik zu finden.



1. Gabriels Horn und die Mandelbrotmenge
2. 0,99999999999999... ist gleich 1
3. Seil-Paradoxon
4. Bischoffs Mysterium
5. Die verschlungenen Ringe
6. Das Bergsteiger-Problem


 1. Gabriels Horn und die Mandelbrotmenge

Dieses verblüffende Beispiel aus der Mathematik beschäftigt sich mir uneigentlichen Integralen und Rotationskörpern.

Es ist bekannt, dass für alle mit das uneigentliche Integral von 1 bis existiert, da



Dagegen ist die Fläche unter der Kurve beschränkt, denn die Stammfunktion dieser Kurve ist der natürliche Logarithmus.



Den Rotationskörper, der bei der Drehung dieser Kurve um die x-Achse entsteht, bezeichnet man als Gabriels Horn.

Dieser Rotationskörper verfügt über einige verblüffende Eigenschaften:

Wie gezeigt, ist die Schnittfläche durch diesen Körper (längs der x-Achse und parallel zur y-Achse) unendlich.

Das Gesamtvolumen des Rotationskörpers ist hingegen endlich:



Und es gibt hier noch eine weitere Kuriosität:
die Gesamtoberfläche ist ebenfalls unendlich!



Dies bedeutet:
Einerseits bräuchte man unendlich viel Farbe, um die Oberfläche des Körpers zu bedecken.
Andererseits könnte man sein Inneres mit endlich viel Farbe füllen - und seine Innenseite wäre komplett mit Farbe bedeckt!

Auch ließe sich der Rotationskörper in eine ausreichend große (endliche!) Kiste legen, diese könnte man mit endlich viel Farbe füllen - und die Oberfläche des Körpers wäre gänzlich mit Farbe bedeckt!



Ähnlich Verblüffendes findet sich auch im Bereich der Fraktale. Als Beispiel sei hier die Mandelbrotmenge herausgestellt.

Die Mandelbrotmenge, benannt nach dem Mathematiker Benoit B. Mandelbrot, ist sicherlich das populärste Fraktal und auch - wegen der Form - unter dem Namen "Apfelmännchen" bekannt.

Die Mandelbrotmenge erhält man bei der Iteration von

Die Fläche der Mandelbrotmenge ist endlich - alles, was sich außerhalb einer Kreisscheibe mit Radius 2 um den Mittelpunkt befindet, gehört eindeutig nicht zur Mandelbrotmenge.
Jedoch ist die Länge der Linie, die sie begrenzt, unendlich.





2. 0,99999999999999... ist gleich 1

Dass 0,99999999999999... (abgekürzt als ) und 1 äquivlent sind, lässt sich auf vielfältige Art und Weise zeigen.

(Anmerkung: Hier handelt es sich nicht um die Art mathematischen Tricksereien, mit denen man u. a. auch "beweisen" kann, dass 5 = 7 ist. Diese Beweise für die Äquivalenz zwischen und 1 stimmen tatsächlich!)
Die ersten drei Beweise erfordern nur elementarstes Mathematik-Basiswissen (also, keine Angst vor Formeln ;-))


Beweis 1




Beweis 2




Beweis 3
Alle periodischen Zahlen können als Bruch dargestellt werden, indem man ihre Periode durch die gleiche Anzahl an 9en dividert.

ist so 46/99
ist so 9/9 = 1


Beweis 4
Folgender, etwas komplizierterer Beweis, wird über die Epsilon-Delta-Methode erbracht.








3. Seil-Paradoxon

Wie paradox manchmal die Ergebnisse der Mathematik wirken - besser besagt, wie sie unserem "gesunden Menschenverstand" widersprechen - soll auch dieses Beispiel zeigen.

Stellen wir uns unsere Erde idealisiert als exakt kugelrund mit einem Umfang von 40.000 km vor.


Ein verrückter Künstler und Architekt, der an Außerirdische glaubt und diese zur Landung auf der Erde bewegen will, hat folgenden Einfall:

Er will um die Erde ein Band wickeln, das genau einen Meter länger ist als der Umfang der Erde. Das Band ist also 40.000,001 km lang und soll desweiteren auf überall gleich hohen Säulen stehen.
Hier sein - nicht maßstabsgetreues - Modell:

Wie hoch müssen die Säulen (hier braun eingezeichnet) sein?

Zunächst aber noch etwas anderes:
Unser verrückter Künstler und Architekt will auc gleich ein Geschenk für die Außerirdischen (von deren Ankunft er fest überzeugt ist) basteln.
Er hat vor, eine Kristallkugel auf ähnliche Weise wie die Erde mit einem Band zu "verzieren". Die Kristallkugel hat einen Umfang von 24 cm.
Auch hier soll das Band um einen Meter länger sein als der Umfang der Kugel, also 1,24 m.
Wie hoch müssen die Säulen hierfür sein?


Bevor man sich die nun folgenden Berechnungen ansieht, empfiehlt es sich, ein wenig über das Problem nachzudenken...



Der Umfang U eines Kreises berechnet sich als U = 2r, wobei r der Radius ist.

UE ist der Umfang der Erde; UK ist der Umfang der Kristallkugel.

Beginnen wir nun mit der Berechnung der Säulenhöhe für die Erde. Das Band bildet einen Kreis, dessen UmfangUE + 1m ist.
Der Radius dieses Kreises ist der Erdradius rE plus die Säulenhohe, also rE+x.
Damit erhalten wir: UE + 1m = 2(rE+x) = 2r+2x
UE=2rE, daraus folgt 1m = 2x, also ist x = 1/2 m.

Das bedeutet, dass die Säulen, auf denen das Band aufliegt, 1/2 m hoch sind. Als Säulenhöhe ergibt sich somit (bei = 3,14) ungefähr 15,92 cm.


Nun führen wir die Berechnung für die Kristallkugel durch.

UK + 1m = 2(rK+x) = 2rK + 2x
UK = 2rK, woraus folgt, dass 1m = 2x.

Wie im ersten Fall ist x = 1/2.


Das überraschende Ergebnis:
In beiden Fällen sind die Säulen gleich hoch, nämlich etwa 15,92 cm.
Entgegen dem "gesunden Menschenverstand" spielt es überhaupt keine Rolle, wie groß die Kugel ist, bei der das Band angebracht wird.
Man würde annehmen, je kleiner die Kugel, desto höher müssten die Säulen sein - aber dem ist nicht so.

Die Rechnung gilt ebenso für ein Bankd um eine Murmel, oder um die Sonne.
Egal, welchen Durchmesser die Kugel hat: verlängert man den Umfang um einen Meter, so steht das Band rundherum um 15,92 cm ab.



Unser - zugegeben, etwas verblüffter - Künstler und Architekt hat noch einen nicht minder seltsamen Einfall.
Er fragt sich: "Wenn ich das Band (mit Länge Erdumfang + 1m) so um die Erde schlinge, dass es nur auf einer einzelnen Säule ruht - wie hoch müsste diese Säule sein?"




Um diese Frage zu beantworten, ist etwas Trigonometrie nötig.







Das Kreissegment A des Kreisbogens hat die Länge



Die Gegenkathete x lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:



Da das Band um 1 m länger als der Erdumfang ist, gilt



Für die Höhe h gilt somit



Es ergibt sich (bei einem Erdradius von 6366 m) eine Höhe von etwa 50 Metern!
Führt man die Rechnung mit verschiedenen Radien durch, so stellt man fest, dass die Höhe h nicht für Kugeln beliebiger Größe konstant ist.


Auch hier wieder ein überraschendes Ergebnis:

Je größer die Kugel, desto größer h! Und wer es nicht glaubt, kann es gerne nochmals nachrechnen ;-)





4. Bischoffs Mysterium

"Ich wenigstens kenne keine Erklärung dafür, warum jede ungerade Zahl (von drei ab), mit sich selbst multipliziert, stets ein Vielfaches von 8 mit 1 als Rest ergibt."
Erich Bischoff, Erforscher der Kabbalah, 1920

Dieses Zitat hat mich neugierig gemacht, mich mit diesem - eigentlich gar nicht allzu schwierigen - mathematischen Problem auseinanderzusetzen.

Mathematisch kann man Bischoffs Aussage folgendermaßen formulieren:
für jede natürliche Zahl a N der Form a=2b+1, gilt (a2)mod8 = 1 (bzw. a2 = (x * 8)+1).


Beweis von "Bischoffs Mysterium":

a=2b+1
--> a2 = (2b+1)2 = 4b2 + 4b+1 = 4b(b+1)+1

Sei b gerade, dann gilt 4b mod8=0 und damit 4b(b+1)mod8=0.
Folglich gilt für a: a2mod8 = (4b(b+1)+1)mod8=1.

Sei b ungerade, so gilt 4(b+1)mod8=0 und damit 4b(b+1)mod8=0.
Folglich gilt für a: a2mod8 = (4b(b+1)+1)mod8=1.


Es gilt also für jede natürliche ungerade Zahl a:
(a2)mod8 = 1


Q.E.D.





5. Die verschlungenen Ringe

Können diese beiden, verschlungenen und mit einem Steg verbundenen Ringe getrennt werden - ohne das Objekt in irgendeiner Weise an irgendeiner Stelle zu zerschneiden und anschließend wieder zu kitten?


Es ist sehr wohl möglich!
Man stelle sich vor, dass das Objekt nicht aus einem starren Material (wie Metall, Holz oder auch einem Seil), sondern aus einem weichen, äußerst dehnbaren und dabei reißfesten Material (ein gallertartiges Gummi-Material) besteht.
Dann sind folgende Drehungen, Dehnungen und Stauchungen möglich:


Diese "mathematische Spielerei", die auf den ersten Blick kaum mathematisch anmutet, gehört übrigens dem Gebiet der Topologie an.
Beide Objekte - verschlungen und getrennt - sind demnach topologisch äquivalent (oder homöomorph, "gleichgestaltig").
Topologisch äquivalent sind - einfach gesagt - all jene Objekte, die sich ohne Zerschneiden und Kitten ineinander überführen lassen. Die Anzahl an Löchern bleibt dabei erhalten.
Einige Beispiele zum Knobeln (warum sind diese Objekte topologisch äquivalent - warum sind sie es nicht?"):
topologisch äquivalent sind z.B. folgende Objekte: Kaffeetasse <--> Schwimmreifen; Quader <--> Kugel <--> Bleistift; Sock <--> Radiergummi
topologisch nicht äquivalent sind z.B. folgende Objekte: Kaffeetasse <--> Kugel; zwei miteinander verschlungene Ringe ohne "Steg" <--> zwei einzelne Ringe






6. Das Bergsteiger-Problem

Mr. Hill, der Bergsteiger, möchte wieder einmal sein Können unter Beweis stellen; diesmal hat er sich die Bezwingung des Mount Math vorgenommen.

Montags beginnt er pünktlich um 5 Uhr mit dem Aufstieg und erreicht den Gipfel um 15 Uhr. Am folgenden Tag beginnt er den Abstieg ebenfalls morgens um 5 Uhr und kommt 10 Stunden später wieder im Tal an.

Mr. Hill, der auch mathematisch interessiert ist - hätte er sich sonst ausgerechnet den Mount Math ausgesucht?! - , fragt sich: Gibt es einen Zeitpunkt zwischen 5 und 15 Uhr, an dem er sich an beiden Tagen zum selben Zeitpunkt auf genau der selben Höhe befand?
Ja? Nein? Eventuell, unter bestimmten Umständen?

Wie können wir an dieses Problem herangehen, und, ist es überhaupt mathematisch zu bewältigen?!

Stellen wir uns vor, Auf- und Abstieg werden von zwei Bergsteigern gleichzeitig durchgeführt. Es kommt hierbei nur auf eines an: beide beginnen mit ihrer Tour um 5 Uhr morgens (der eine im Tal, der andere am Gipfelkreuz), und kommen 10 Stunden später, um 15 Uhr, an ihrem jeweiligen Ziel an. Hierbei ist es leicht einzusehen, dass sie sich irgendwann begegnen müssen (auch wenn sie sich nicht direkt sehen können, so befinden sie sich doch auf demselben Höhenmeter - noch viel deutlicher wird es, wenn man sich anstatt des Berges zwei Leitern vorstellt).

Die Antwort auf unsere, zunächst so kompliziert wirkende, Frage lautet also:
Ja, es gibt sehr wohl einen solchen Zeitpunkt, an dem er sich sowohl beim Auf- als auch beim Abstieg auf demselben Höhenmeter befand.



Wie sieht es nun aus, wenn Mr. Hill für den Abstieg nur 9 Stunden benötigte? Oder wenn er gar nur weniger als eine Stunde Zeit benötigte, da er von einem Hubschrauber abgeholt wurde?
Was, wenn er nicht an beiden Tagen seine Tour zum gleichen Zeitpunkt gestartet hat?

Das herauszufinden, dürfte für den Leser gar nicht mehr so schwierig sein!